10027. Известны две стороны вписанного четырёхугольника: AB=a
, BC=b
. На стороне CD
взята точка K
так, что CK=m
. Окружность, проходящая через точки B
, K
и D
, пересекает прямую DA
в точке M
, отличной от D
. Найдите AM
.
Ответ. \frac{ma}{b}
.
Решение. Четырёхугольники ABCD
и BKDM
вписанные, поэтому
\angle BCK=\angle BCD=180^{\circ}-\angle BAD=\angle BAM,
\angle BKC=180^{\circ}-\angle BKD=\angle DMB=\angle AMB
(см. задачу 6). Значит, треугольники BCK
и BAM
подобны по двум углам, \frac{AM}{CK}=\frac{AB}{BC}
. Следовательно,
AM=\frac{AB\cdot CK}{BC}=\frac{am}{b}.