10030. Биссектриса угла BAC
треугольника ABC
пересекает дугу BC
(не содержащую точку A
) описанной около этого треугольника окружности в точке D
. Отрезок AD
делится стороной BC
в отношении k
, считая от вершины A
. Найдите периметр треугольника ABC
, если BC=a
.
Ответ. a(1+\sqrt{k+1})
.
Решение. Пусть хорды BC
и AD
пересекаются в точке F
. Поскольку
\angle DCF=\angle DCB=\angle BAD=\angle CAD,
треугольники CDF
и ADC
подобны по двум углам. Значит, \frac{DF}{CD}=\frac{CD}{AD}
, откуда
CD^{2}=AD\cdot DF=(k+1)DF^{2},~\frac{CD}{DF}=\sqrt{k+1}.
Через точку C
проведём прямую, параллельную AD
. Пусть эта прямая пересекается с прямой AB
в точке E
. Поскольку
\angle CBE=\angle CBA=\angle CDA=\angle CDF,
\angle BEC=\angle BAD=\angle BCD=\angle FCD,
треугольники BCE
и DFC
подобны по двум углам. Значит,
\frac{BE}{BC}=\frac{CD}{DF}=\sqrt{k+1},~BE=BC\sqrt{k+1}=a\sqrt{k+1}.
Кроме того, треугольник CAE
равнобедренный, так как
\angle AEC=\angle BAF=\angle FAC=\angle ACE,
поэтому AE=AC
.
Пусть периметр треугольника ABC
равен P
. Тогда
BE=BA+AE=BA+AC=P-BC=P-a~\mbox{и}~BE=a\sqrt{k+1},
поэтому P-a=a\sqrt{k+1}
, откуда находим, что P=a(1+\sqrt{k+1})
.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1998-1999, V, 3-й тур, 9 класс