10033. В треугольнике ABC
сторона BC
равна a
, а прилежащие к ней углы равны \alpha
и \beta
. Окружность, проходящая через точки A
и B
, вторично пересекает прямые CA
и CB
в точках P
и M
. Известно, что прямая PM
проходит через центр описанной около треугольника ABC
окружности. Найдите длину отрезка PM
.
Ответ. \frac{a\sin\beta}{2\sin\alpha\sin^{2}(\alpha+\beta)}
или \frac{a\sin\alpha}{2\sin\beta\sin^{2}(\alpha+\beta)}
.
Решение. Пусть точки P
и M
лежат на прямых CA
и CB
соответственно, O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, R
— её радиус, OK
и OL
— высоты треугольников COP
и COM
соответственно. Обозначим, AB=c
, AC=b
, \angle BAC=\varphi
.
Предположим, что треугольник ABC
остроугольный (для тупоугольного треугольника рассуждения аналогичны). Четырёхугольник ABMP
вписанный, поэтому
\angle CPM=180^{\circ}-\angle APM=\angle ABM.
Значит, треугольник MPC
подобен треугольнику ABC
по двум углам. Пусть коэффициент подобия равен k
. Тогда
CP=kCB=ka,~CM=kAC=kb,~PM=kAB=kc.
Проведём через точку C
касательную к описанной окружности треугольника ABC
и отметим на ней точку T
, лежащую с точкой B
по разные стороны от прямой AC
. Из теоремы об угле между касательной хордой следует, что
\angle ACT=\angle ABC=\angle CPM.
Значит, PM\parallel CT
, а так как OC\perp CT
, то OC=\perp PM
, т. е. треугольники COP
и COM
прямоугольные. Тогда
\angle COK=\angle CPO=\alpha,~\angle COL=\angle CMO=\varphi,
поэтому
OK=OC\cos\angle COK=R\cos\alpha,~OL=OC\cos\angle COL=R\cos\varphi.
Далее получаем, что
S_{\triangle MCP}=S_{\triangle POC}+S_{\triangle MOC},
или
\frac{1}{2}CP\cdot CM\sin\beta=\frac{1}{2}CP\cdot OK+\frac{1}{2}CM\cdot OL,
k^{2}ab\sin\beta=kR(a\cos\alpha+b\cos\varphi),
а так как по теореме синусов
b=2R\sin\alpha,~c=2R\sin\beta,~a=2R\sin\varphi,
то
k=\frac{R(a\cos\beta+b\cos\varphi)}{ab\sin\beta}=\frac{R(2R\sin\varphi\cos\alpha+2R\sin\alpha\cos\varphi)}{4R^{2}\sin\alpha\sin\varphi\sin\beta}=
=\frac{\sin(\alpha+\varphi)}{2\sin\alpha\sin\varphi\sin\beta}=\frac{\sin(180^{\circ}-\beta)}{2\sin\alpha\sin\varphi\sin\beta}=\frac{1}{2\sin\alpha\sin\varphi}.
Учитывая, что \varphi=180^{\circ}-\alpha-\beta
и c=\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}
, получим, что
PM=kc=\frac{c}{2\sin\alpha\sin\varphi}=\frac{\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}}{2\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)}=\frac{a\sin\beta}{2\sin\alpha\sin^{2}(\alpha+\beta)}.
Если же \alpha
и \beta
поменять местами, то
PM=\frac{a\sin\alpha}{2\sin\beta\sin^{2}(\alpha+\beta)}.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1997-1998, IV, 3-й тур, 10 класс