10036. Периметр треугольника ABC
в k
раз больше стороны BC
, AB\ne AC
. В каком отношении медиана к стороне BC
делит диаметр вписанной в этот треугольник окружности, перпендикулярный этой стороне?
Ответ. \frac{k-2}{k}
.
Решение. Пусть AK
— высота треугольника ABC
, P
— середина стороны BC
, M
— точка касания вписанной окружности со стороной BC
, MN
— её диаметр, F
— точка пересечения медианы AP
с диаметром MN
. Обозначим AB=c
, AC=b
, BC=a
, AK=h
, \angle ACB=\gamma
, p
— полупериметр треугольника, S
— площадь.
Тогда
CP=\frac{a}{2},~CM=p-AB=p-c=\frac{a+b-c}{2},~\cos\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab},
CK=AC\cos\angle ACB=b\cos\gamma=b\cdot\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a},
PM=CM-CP=\frac{a+b-c}{2}-\frac{a}{2}=\frac{b-c}{2},
PK=CK-CP=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a}-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b^{2}-c^{2}}{2a}-\frac{a}{2}=\frac{b^{2}-c^{2}}{2a}.
Из подобия треугольников PMF
и PKA
получаем, что
\frac{MF}{AK}=\frac{MF}{h}=\frac{PM}{PK}=\frac{\frac{b-c}{2}}{\frac{b^{2}-c^{2}}{2a}}=\frac{a}{b+c}=
=\frac{a}{b+c+a-a}=\frac{a}{2p-a}=\frac{a}{ka-a}=\frac{1}{k-1},
а так как
\frac{2r}{h}=\frac{\frac{2S}{p}}{\frac{2S}{a}}=\frac{a}{p}=\frac{2a}{a+b+c}=\frac{2}{k},
то
\frac{NF}{MF}=\frac{MN-MF}{MF}=\frac{MN}{MF}-1=\frac{2r}{h}\cdot\frac{h}{MF}-1=
=\frac{2}{k}\cdot\frac{h}{MF}-1=\frac{2}{k}\cdot(k-1)-1=\frac{2k-2-k}{k}=\frac{k-2}{k}.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1997-1998, IV, 3-й тур, 11 класс