10042. Через вершины A
и B
квадрата ABCD
проходит окружность, пересекающая AD
и AC
в точках K
и M
, отличных от A
. Найдите длину проекции отрезка KM
на прямую AC
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Будем считать, что точка K
лежит на прямой AD
, а точка M
— на прямой AC
. Пусть окружность пересекает прямую BC
в точке T
.
Из точки B
отрезок AT
виден под прямым углом, значит, AT
— диаметр окружности. Тогда
\angle AMT=\angle BTK=90^{\circ},
и проекции отрезков KM
и KT
на прямую AC
совпадают. Поскольку KT\parallel AB
, отрезок KT
образует с прямой AC
угол, равный 45^{\circ}
, следовательно, его проекция на эту прямую равна KT\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}
.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1997-1998, IV, 1-й тур, 9 класс