10044. В треугольнике ABC
медиана, проведённая из вершины A
, в четыре раза меньше стороны AB
и образует с ней угол 60^{\circ}
. Найдите наибольший угол данного треугольника.
Ответ. 150^{\circ}
.
Решение. На продолжении медианы AM
за точку M
отложим отрезок MA'=AM
. Пусть P
— проекция точки B
на прямую AM
. Из прямоугольного треугольника AMB
получаем, что
AP=AB\cos\angle BAP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot2AA'=AA'.
Значит, точка P
совпадает с A'
, и \angle AA'B=90^{\circ}
. Треугольник CAM
равен треугольнику BA'M
по двум сторонам и углу между ними, поэтому
\angle CAM=\angle BA'M=90^{\circ}.
Следовательно,
\angle BAC=\angle BAM+\angle CAM=60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}.
Угол BAC
тупой, значит, он наибольший в треугольнике ABC
.