10048. В треугольник ABC
вписана окружность с центром O
. На стороне AB
выбрана точка P
, а на продолжении стороны AC
за точку C
— точка Q
так, что отрезок PQ
касается окружности. Докажите, что \angle BOP=\angle COQ
.
Решение. Первый способ. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе. Применяя для треугольника BOP
теорему о внешнем угле, получим:
\angle BOP=\angle APO-\angle ABO=\frac{1}{2}\angle APQ-\frac{1}{2}\angle ABC.
Аналогично, для треугольника COQ
:
\angle COQ=\angle ACO-\angle AQO=\frac{1}{2}\angle ACB-\frac{1}{2}\angle AQP.
Осталось убедиться, что
\angle APQ-\angle ABC=\angle ACB-\angle AQP.
Это равенство равносильно тому, что
\angle APQ+\angle AQP=\angle ABC+\angle ACB,
которое, очевидно, выполняется, так как каждая его часть равна 180^{\circ}-\angle BAC
.
Второй способ. Заметим, что для треугольника PAQ
данная окружность также является вписанной. Значит, O
— точка пересечения биссектрис как в треугольнике BAC
, так и в треугольнике PAQ
. Следовательно (см. задачу 4770),
\angle BOC=90^{\circ}+\angle BAC=\angle POQ.
Тогда
\angle BOP=\angle POQ-\angle BOQ==\angle BOC-\angle BOQ=\angle COQ.
Что и требовалось доказать.