10054. В прямоугольнике ABCD
на диагонали AC
отмечена точка K
так, что CK=BC
. На стороне BC
отмечена точка M
так, что KM=CM
. Докажите, что AK+BM=CM
.
Решение. На продолжении стороны BC
за точку B
отметим такую точку E
, что BE=AK
. Тогда
CE=CB+BE=CK+KA=CA
В треугольниках EKC
и ABC
: CE=CA
, CK=CB
, угол ECA
— общий, значит, эти треугольники равны. Следовательно, \angle EKC=\angle ABC=90^{\circ}
.
Пусть \angle KCM=\angle MKC=\alpha
. Тогда
\angle MKE=90^{\circ}-\alpha=\angle MEK,
значит, ME=MK=MC
. Таким образом,
AK+BM=BE+BM=ME=CM.
Что и требовалось доказать.