10058. Найдите сторону наименьшего правильного треугольника, который можно вписать в прямоугольный треугольник с острым углом 30^{\circ}
и гипотенузой, равной 2. (Все вершины искомого правильного треугольника должны располагаться на разных сторонах данного прямоугольного треугольника.)
Ответ. \sqrt{\frac{3}{7}}
.
Решение. Пусть вершины K
и L
равностороннего треугольника KLM
со стороной, равной x
, лежат на катетах соответственно AC=2
и BC
данного прямоугольного треугольника ABC
, вершина M
— на гипотенузе AB
, угол ABC
равен 30^{\circ}
, точки O
и Q
— центры описанных окружностей треугольников KCL
и AKM
.
Тогда OK
и QK
— радиусы этих окружностей, поэтому
OK=\frac{1}{2}KL=\frac{x}{2},~QK=\frac{KM}{2\sin\angle KAM}=\frac{x}{2\sin60^{\circ}}=\frac{x}{\sqrt{3}},
а так как центральный угол KQM
вдвое больше вписанного угла KAM
и треугольник KQM
равнобедренный, то
\angle MKQ=\frac{1}{2}(180^{\circ}-120^{\circ})=30^{\circ}.
Значит,
\angle OKQ=\angle OKM+\angle MKQ=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника OKQ
находим, что
OQ=\sqrt{OK^{2}+QK^{2}}=\sqrt{\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{3}}=\frac{x}{2}\sqrt{\frac{7}{3}}.
Пусть E
и F
— проекции точек соответственно O
и Q
на прямую AC
. Тогда E
и F
— середины отрезков KC
и KA
, следовательно,
\frac{x}{2}\sqrt{\frac{7}{3}}=OQ\geqslant EF=\frac{1}{2}AC=1,
откуда x\geqslant\sqrt{\frac{3}{7}}
, причём равенство достигается в случае OQ\parallel AC
.