10061. Данной окружности изнутри касаются шесть окружностей так, что каждая внутренняя касается двух соседних и радиусы противоположных окружностей попарно равны. Докажите, что сумма радиусов внутренних окружностей равна диаметру данной окружности.
Решение. Пусть O
— центр внешней окружности, R
— её радиус, AB
— диаметр; точки O_{1}
и O_{2}
, лежащие на AB
, — центры пары равных окружностей радиуса r_{1}
, касающихся изнутри внешней окружности, а точка O_{3}
— центр окружности радиуса r_{2}
, касающейся окружности с центром O_{1}
в точке K
, а внешней окружности — в точке P
. Пусть прямая AK
вторично пересекает окружность с центром O_{3}
в точке L
, а внешнюю окружность — в точке M
. Точку пересечения прямых O_{3}L
и OM
обозначим O_{4}
.
Докажем, что O_{4}
— центр ещё одной из внутренних окружностей, о которых говорится в условии задачи. Обозначим \angle KAO_{1}=\alpha
. Треугольники AO_{1}K
и KO_{3}L
равнобедренные, поэтому
\alpha=\angle KAO_{1}=\angle AKO_{1}=\angle O_{3}KL=\angle O_{3}LK.
Тогда AO_{1}\parallel O_{3}L
.
Треугольник AOM
также равнобедренный, поэтому
\angle AMO=\angle MAO=\angle O_{3}KL.
Тогда O_{3}K\parallel O_{4}M
. Противоположные стороны четырёхугольника O_{1}O_{3}O_{4}O
попарно параллельны, значит, это параллелограмм, а так как OO_{2}=OO_{1}=R-r_{1}
и OO_{1}=O_{3}O_{4}
, то противоположные стороны OO_{2}
и O_{3}O_{4}
четырёхугольника OO_{3}O_{4}O_{2}
равны и параллельны, значит, это также параллелограмм.
Обозначим O_{4}L=O_{4}M=r_{3}
. Окружность с центром O_{4}
и радиусом r_{3}
касается окружностей с центрами O_{3}
и O
, так как
O_{3}O_{4}=r_{2}+r_{3}=O_{3}L+O_{4}L~\mbox{и}~OO_{4}=R-r_{3}=OM-O_{4}M.
Чтобы доказать, что она касается и окружности с центром O_{2}
, достаточно установить, что O_{4}O_{2}=r_{1}+r_{3}
. Действительно,
O_{4}O_{2}=OO_{3}=OP-PO_{3}=R-r_{2}=(OO_{1}+r_{1})-r_{2}=
=O_{3}O_{4}+r_{1}-r_{2}=(r_{2}+r_{3})+r_{1}-r_{2}=r_{1}+r_{3}.
Что и требовалось доказать.
Следовательно,
R=AO_{1}+OO_{1}=AO_{1}+(O_{3}L+O_{4}L)=r_{1}+r_{2}+r_{3}.