10065. Дан равнобедренный треугольник ABC
, AB=BC
. В окружности \Omega
, описанной около треугольника ABC
, проведён диаметр CC_{1}
. Прямая, проходящая через точку C_{1}
параллельно BC
, пересекает отрезки AB
и AC
в точках M
и P
соответственно. Докажите, что M
— середина отрезка C_{1}P
.
Решение. Отрезок CC_{1}
— диаметр окружности \Omega
, поэтому \angle C_{1}AC=90^{\circ}
. Поскольку MP\parallel BC
, получаем, что
\angle MPA=\angle BCA=\angle BAC.
Значит, треугольник AMP
равнобедренный, и поэтому его высота MD
является и медианой. Поскольку AD=DP
и AC_{1}\parallel DM
, по теореме Фалеса получаем, что C_{1}M=MP
.
Примечание. Есть и другие решения, например, с использованием подсчёта углов в прямоугольном треугольнике PAC_{1}
:
\angle MAC_{1}=90^{\circ}-\angle MAP=90^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ}-\angle MPA=\angle MC_{1}A,
откуда MP=MA=MC_{1}
.
Автор: Обухов Б. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2015-2016, XLII, региональный этап, 9 класс