10067. На стороне AB
выпуклого четырёхугольника ABCD
взяты точки K
и L
(точка K
лежит между A
и L
), а на стороне CD
взяты точки M
и N
(точка M
между C
и N
). Известно, что AK=KN=DN
и BL=BC=CM
. Докажите, что если BCNK
— вписанный четырёхугольник, то и ADML
тоже вписан.
Решение. В случае AB\parallel CD
имеем BC=KN
, поэтому AK=BL=CM=DN
. Значит, четырёхугольник LMDA
получается из BCNK
параллельным переносом на вектор \overrightarrow{BL}
.
Пусть теперь AB
и CD
не параллельны. Обозначим через P
точку пересечения прямых AB
и CD
. Поскольку четырёхугольник BCNK
вписанный,
\angle PBC=180^{\circ}-\angle CBK=\angle CNK=\angle PNK.
Значит, треугольники PBC
и PNK
подобны по двум углам; отсюда
\frac{PB}{BL}=\frac{PB}{BC}=\frac{PN}{NK}=\frac{PN}{ND}.
Значит, BN\parallel LD
. Аналогично CK\parallel MA
. Отсюда получаем, что \angle ALD=\angle KBN
и \angle KCN=\angle AMD
. Поскольку четырёхугольник BCNK
вписан в окружность, то \angle KBN=\angle KCN
. Поэтому и \angle ALD=\angle AMD
, т. е. четырёхугольник ADML
также вписанный.
Примечание. Есть и другие решения; например, из равенств \angle AKN=\angle NCB
и \angle DNK=\angle KBC
следует, что четырёхугольники BCML
и NKAD
подобны, поэтому \angle BLM=\angle MDA
.