10068. Внутри равнобокой трапеции ABCD
с основаниями BC
и AD
расположена окружность \omega
с центром I
, касающаяся отрезков AB
, CD
и DA
. Окружность, описанная около треугольника BIC
, вторично пересекает сторону AB
в точке E
. Докажите, что прямая CE
касается окружности \omega
.
Решение. Заметим, что точка I
лежит на оси симметрии трапеции, поэтому \angle ICD=\angle IBA
. Пользуясь вписанностью четырёхугольника CBEI
, получаем
\angle ICD=\angle IBA=\angle IBE=\angle ICE.
Поскольку прямая CD
касается окружности \omega
, то и прямая CE
, симметричная ей относительно CI
, также касается \omega
.
Примечание. Есть и другие решения, например, с использованием равенств
\angle IEA=\angle ICB=\angle IBC=\angle IEC.