10069. В треугольнике ABC
проведена биссектриса BL
. На отрезке CL
выбрана точка M
. Касательная в точке B
к окружности \Omega
, описанной около треугольника ABC
, пересекает луч CA
в точке P
. Касательные в точках B
и M
к окружности \Gamma
, описанной около треугольника BLM
, пересекаются в точке Q
. Докажите, что прямые PQ
и BL
параллельны.
Решение. Поскольку BL
— биссектриса \angle ABC
, имеем \angle ABL=\angle LBC
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle PBA=\angle BCA
. Кроме того,
\angle PBL=\angle PBA+\angle ABL=\angle BCA+\angle LBC=\angle BLP,
значит,
\angle BPM=180^{\circ}-(\angle PBL+\angle BLP)=180^{\circ}-2\angle BLP.
Отсюда следует, в частности, что угол BLP
острый. Тогда угол BLM
тупой, и касательные к \Gamma
в точках B
и M
пересекаются в точке Q
, лежащей по ту же сторону от BM
, что и точка L
(а значит, — по ту же сторону, что и P
). Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle QBM=\angle QMB=180^{\circ}-\angle BLM=\angle BLP.
Значит,
\angle BQM=180^{\circ}-2\angle QBM=180^{\circ}-2\angle BLP=\angle BPM.
Поэтому точки B
, M
, P
и Q
лежат на одной окружности. Отсюда следует, что
\angle QPM=\angle QBM=\angle BLP.
Это и означает, что PQ\parallel BL
.