10072. Диагонали AC
и BD
вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
. Точка Q
выбрана на отрезке BC
так, что PQ\perp AC
. Докажите, что прямая, проходящая через центры окружностей, описанных около треугольников APD
и BQD
, параллельна прямой AD
.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку D
перпендикулярно AD
, пересекается с прямой PQ
в точке T
. Из точек P
и D
отрезок AT
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AT
. Эта окружность описана и около треугольника APD
, и около треугольника ADT
. Её центр лежит серединном перпендикуляре к отрезку DT
.
Четырёхугольники ABCD
и APDT
вписанные, поэтому
\angle QBD=\angle CBD=\angle CAD=\angle PAD=\angle PTD=\angle QTD.
Из точек B
и T
, лежащих по одну сторону от прямой DQ
, отрезок DQ
виден под одним и тем же углом, значит, точки B
, T
, D
и Q
лежат на одной окружности. Эта окружность описана и около треугольника BQD
, и около треугольника DTQ
. Её центр также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DT
.
Таким образом, центры описанных около треугольников APD
и BQD
окружностей лежат на серединном перпендикуляре к отрезку DT
, а так как DT\perp AD
, то прямая, проходящая через центры этих окружностей, параллельна AD
.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2015-2016, XLII, заключительный этап, 10 класс