10077. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AB
на стороне CB
выбрана точка D
так, что CD=AC-AB
. Точка M
— середина AD
. Докажите, что угол BMC
— тупой.
Решение. Поскольку
CD=AC-AB=BC-AB,
получаем, что DB=AB
, а значит, треугольник ABD
равнобедренный. Тогда его медиана BM
является и высотой, т. е. угол BMD
прямой. При этом точка D
лежит на отрезке BC
, значит, луч MD
проходит между сторонами угла BMC
. Следовательно,
\angle BMC=\angle BMD+\angle DMC=90^{\circ}+\angle DMC\gt90^{\circ}.