10082. Произвольный треугольник разрезали на равные треугольники прямыми, параллельными сторонам (как показано на рисунке). Докажите, что ортоцентры шести закрашенных треугольников лежат на одной окружности.
Решение. Первый способ. Пусть H
— ортоцентр одного из закрашенных треугольников (рис. 1). Присоединив к нему три соседних белых треугольника, получим «двойной» треугольник. Понятно, что H
является в этом «двойном» треугольнике центром описанной окружности. Проделав такие действия для всех закрашенных треугольников, получим шесть равных «двойных» треугольников с общей вершиной T
. Поэтому ортоцентры всех закрашенных треугольников лежат на окружности с центром T
радиуса TH
.
Второй способ. Рассмотрим два закрашенных треугольника с общей вершиной A
(рис. 2). Они симметричны относительно A
. Их высоты, выходящие из общей вершины A
, перпендикулярны прямой TA
, где T
— точка пересечения медиан исходного треугольника. Значит, их ортоцентры симметричны относительно прямой TA
. Поэтому расстояние от точки T
до этих ортоцентров одно и то же. Поскольку это верно для любой пары соседних закрашенных треугольников, то ортоцентры всех этих треугольников равноудалены от точки T
.