10085. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
и прямоугольный треугольник ABD
с общей гипотенузой AB
(точки D
и C
лежат по одну сторону от прямой AB
). Пусть DK
— биссектриса треугольника ABD
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ACK
лежит на прямой AD
.
Решение. Первый способ. Пусть прямые AD
и BC
пересекаются в точке E
(рис. 1); случай D=C
очевиден). Поскольку \angle ADK=45^{\circ}=\angle EBK
, точки B
, E
, D
, K
лежат на одной окружности. Угол BDE
прямой, значит, и угол BKE
прямой. Отрезок AE
виден из точек C
и K
под прямым углом, т. е. является диаметром описанной окружности треугольника ACK
. Следовательно, центр этой окружности лежит на прямой AE
, совпадающей с AD
.
Второй способ. Заметим, что точки C
и D
лежат на окружности с диаметром AB
. Если D=C
, то всё очевидно. Если нет, то угол CDK
прямой, поскольку состоит из двух углов по 45^{\circ}
(рис. 2).
Пусть O
— вторая точка пересечения прямой AD
и описанной окружности треугольника CDK
. Тогда угол COK
тоже прямой и \angle OCK=\angle ADK=45^{\circ}
. Значит, треугольник COK
прямоугольный и равнобедренный. Поскольку угол CAK
в два раза меньше угла COK
и точки A
и O
лежат по одну сторону от прямой CK
, то точка A
лежит на окружности с центром O
и радиусом OC=OK
.
Третий способ. Построим окружность на диаметре AB
. Точка C
делит пополам дугу ADB
, биссектриса DK
делит пополам другую дугу AB
точкой T
. Поэтому углы ACB
и ATB
(рис. 3) симметричны относительно прямой AB
.
Поскольку ещё и углы CAK
и TDA
опираются на равные дуги, треугольники CAK
и TDA
подобны. Центр Q
описанной окружности треугольника TDA
лежит на луче, отложенном в сторону точки T
от луча DA
на угол ADQ
. Значит, центр O
описанной окружности треугольника CAK
лежит на луче, отложенном в сторону точки C
от луча AK
на такой же угол. Осталось заметить, что углы ADQ
и QAD
— равные углы равнобедренного треугольника AOD
.