10089. В остроугольном треугольнике ABC
угол C
равен 60^{\circ}
; H
— точка пересечения высот этого треугольника. Окружность с центром H
и радиусом HC
второй раз пересекает прямые CA
и CB
в точках M
и N
соответственно. Докажите, что AN
и BM
параллельны (или совпадают).
Решение. Прямая CB
и проведённая окружность симметричны относительно прямой AH
(см. задачу 1677). Значит, и их общие точки C
и N
симметричны относительно этой прямой. Тогда в треугольнике ACN
два угла по 60^{\circ}
. Следовательно, он равносторонний. Аналогично, треугольник BCM
— также равносторонний. Следовательно, прямые AN
и BM
параллельны (так как \angle CAN=\angle CMB
).
Автор: Зимин А. П.
Источник: Турнир городов. — 2015-2016, XXXVII, весенний тур, базовый вариант, 8-9 классы