10091. Точку внутри выпуклого четырёхугольника соединили со всеми вершинами и с четырьмя точками на сторонах (по одной на стороне). Четырёхугольник оказался разделён на восемь треугольников с одинаковыми радиусами описанных окружностей. Докажите, что исходный четырёхугольник — вписанный.
Решение. Пусть R
— радиус окружностей, о которых говорится в условии, а выбранная точка O
внутри четырёхугольника ABCD
соединена с точкой K
на стороне AB
. Синусы смежных углов равны, значит,
AO=2R\sin\angle OAB=2R\sin\angle OBA=OB.
Значит, OA=OB
. Аналогично все вершины четырёхугольника ABCD
равноудалены от O
. Что и требовалось доказать.