10093. На стороне AB
квадрата ABCD
отмечена точка K
, а на стороне BC
— точка L
так, что KB=LC
. Отрезки AL
и CK
пересекаются в точке P
. Докажите, что отрезки DP
и KL
перпендикулярны.
Решение. Отрезок DK
при повороте на 90^{\circ}
вокруг центра квадрата переходит в отрезок AL
, поэтому эти отрезки перпендикулярны. Аналогично, DL\perp CK
. Таким образом, прямые AL
и CK
содержат высоты треугольника DKL
. Следовательно, P
— его ортоцентр, а DP\perp KL
.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Турнир городов. — 2014-2015, XXXVI, осенний тур, базовый вариант, 8-9 классы
Источник: Мексиканская геометрическая олимпиада. — 2014, задача 8