10095. Точки K
и L
делят медиану AM
треугольника ABC
на три равные части, точка K
лежит между L
и A
. Отметили точку P
так, что треугольники KPL
и ABC
подобны, причём P
и C
лежат в одной полуплоскости относительно прямой AM
. Докажите, что точка P
лежит на прямой AC
.
Решение. Пусть N
— середина AC
.
Первый способ. Рассмотрим на стороне AC
такую точку Q
, что \angle ALQ=\angle C
. Тогда треугольники ALQ
и ACM
подобны по двум углам. При этом подобии медиана MN
треугольника ACM
соответствует медиане QK
треугольника ALQ
. Следовательно, треугольник KQL
подобен треугольнику NMC
, а значит, и треугольнику ABC
. Таким образом, точки P
и Q
совпадают.
Второй способ. Рассмотрим композицию симметрии относительно биссектрисы угла CAM
, переводящей точку C
в C'
, и гомотетии с центром A
, переводящей точку C'
в L
. При этом точка N
перейдёт в K
, а образ точки M
попадёт на прямую AC
и, поскольку треугольники NMC
и KPL
подобны, совпадёт с P
.