10097. На сторонах треугольника ABC
построены три подобных треугольника: YBA
и ZAC
— во внешнюю сторону, а XBC
— внутрь (соответственные вершины перечисляются в одинаковом порядке). Докажите, что AYXZ
— параллелограмм.
Решение. Поскольку треугольники XBC
и ZAC
подобны, CX:CZ=CB:CA
. Кроме того,
\angle XCZ=\angle BCA-\angle BCX+\angle ACZ=\angle BCA,
поэтому треугольник XCZ
подобен треугольнику BCA
, откуда CX:XZ=CB:BA
.
Из подобия треугольников XBC
и YBA
следует, что CX:YA=CB:BA
. Таким образом, CX:YA=CB:BA=CX:XZ
, откуда YA=XZ
. Аналогично доказывается, что YX=AZ
. Итак, у четырёхугольника YXZA
противоположные стороны попарно равны, т. е. это параллелограмм.
Источник: Турнир городов. — 2013-2014, XXXV, осенний тур, базовый вариант, 10-11 классы