10098. На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, её размеры могут отличаться от размеров стола.)
Решение. Первый способ. Назовём весом свисающего треугольного куска длину его высоты, проведённой из прямого угла. Очевидно, все свисающие куски подобны между собой. Значит, равенство кусков равносильно равенству их весов. Поэтому достаточно показать равенство сумм весов противоположных кусков. Добавляя к этим суммам сторону стола, получаем проекции диагоналей скатерти на стороны стола. Поскольку диагонали равны и перпендикулярны, и стороны стола перпендикулярны, то эти проекции равны. Итак, два других куска тоже равны.
Второй способ. Запишем цепочку равносильных утверждений для данного в условии расположения.
1) Равенство соседних кусков.
2) Совместимость этих кусков поворотом скатерти на 90^{\circ}
вокруг её центра.
3) Совместимость этим поворотом двух прямых, содержащих стороны стола и стороны рассматриваемых кусков.
4) Равноудалённость этих прямых от центра скатерти.
5) Принадлежность центра скатерти диагонали стола — биссектрисе угла между этими прямыми.
Приведённая цепочка показывает равносильность равенства соседних кусков равенству двух других кусков.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Турнир городов. — 2013-2014, XXXV, весенний тур, сложный вариант, 8-9 классы