1010. Докажите, что у равнобедренного треугольника:
а) биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны;
б) медианы, проведённые из тех же вершин, также равны.
Указание. Примените один из признаков равенства треугольников.
Решение. Пусть
AA_{1}
и
BB_{1}
— биссектрисы, проведённые из вершин
A
и
B
при основании
AB
равнобедренного треугольника
ABC
. Треугольники
AA_{1}B
и
BB_{1}A
равны по стороне (
AB
— общая) и двум прилежащим к ней углам (
\angle CBA=\angle CAB
как углы при основании
AB
равнобедренного треугольника
ABC
,
\angle BAA_{1}=\angle ABB_{1}
как половины равных углов).
Для доказательства равенства медиан применим признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — № 19, с. 37
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 4,5, с. 8