10104. Окружность \omega
описана около остроугольного треугольника ABC
. На стороне AB
выбрана точка D
, а на стороне BC
— точка E
так, что AC\parallel DE
. Точки P
и Q
на меньшей дуге AC
окружности \omega
таковы, что DP\parallel EQ
. Лучи QA
и PC
пересекают прямую DE
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что \angle XBY+\angle PBQ=180^{\circ}
.
Решение. Четырёхугольник ABCQ
вписанный и AC\parallel DE
, поэтому
\angle BEX=\angle BCA=\angle BQA=\angle BQX.
Из точек E
и Q
, лежащих по одну сторону от прямой BX
, отрезок BX
виден под одним и тем же углом, значит, четырёхугольник XBEQ
— также вписанный. Следовательно,
\angle XBQ=\angle XEQ=\angle DEQ.
Аналогично докажем, что четырёхугольник YBDP
вписанный и \angle PBY=\angle PDE
.
По условию задачи PD\parallel EQ
, значит,
180^{\circ}=\angle PDE+\angle DEQ=\angle PBY+\angle XBQ.
Таким образом,
\angle XBY+\angle PBQ=\angle XBP+2\angle PBQ+\angle QBY=\angle XBQ+\angle PBY=180^{\circ}.