10105. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность \Gamma
с центром в точке O
. Его диагонали AC
и BD
перпендикулярны и пересекаются в точке P
, причём точка O
лежит внутри треугольника BPC
. На отрезке BO
выбрана точка H
так, что \angle BHP=90^{\circ}
. Окружность \omega
, описанная около треугольника PHD
, вторично пересекает отрезок PC
в точке Q
. Докажите, что AP=CQ
.
Решение. Проведём диаметр BT
. Поскольку \angle PDT=\angle BDT=90^{\circ}
, отрезок PT
виден из точек H
и D
под прямым углом. Значит, точки D
, H
, P
и T
лежат на одной окружности — окружности \omega
, описанной около треугольника PHD
. Отрезок PT
— диаметр этой окружности, поэтому \angle PQT=90^{\circ}
.
Четырёхугольник DPQT
— прямоугольник, значит, он симметричен относительно общего серединного перпендикуляра l
к сторонам DT
и PQ
. Прямая l
проходит через точку O
, поэтому отрезки AP
и CQ
симметричны относительно l
. Следовательно, они равны.