10109. Точки D
и E
— середины сторон соответственно BC
и AC
треугольника ABC
. Прямая DE
касается вписанной окружности треугольника. Докажите, что r_{c}=2r
, где r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, а r_{c}
— радиус его вневписанной окружности, касающейся стороны AB
.
Решение. При гомотетии с центром C
и коэффициентом 2 треугольник EDC
переходит в треугольник ABC
, поэтому вневписанная окружность треугольника EDC
, т. е. вписанная окружность треугольника ABC
, переходит во вневписанную окружность треугольника ABC
. Следовательно, радиус вневписанной окружности треугольника ABC
вдвое больше радиуса вневписанной окружности треугольника EDC
, т. е. r_{c}=2r
. Что и требовалось доказать.