1011. Докажите, что у равных треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
:
а) медианы, проведённые из вершин A
и A_{1}
, равны;
б) биссектрисы, проведённые из вершин A
и A_{1}
, равны.
Указание. Примените признаки равенства треугольников.
Решение. Пусть M
и M_{1}
— середины сторон BC
и B_{1}C_{1}
. Из равенства треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
следует, что
A_{1}C_{1}=AC,~\angle ACB=\angle A_{1}C_{1}B_{1},~C_{1}M_{1}=CM
(как половины равных отрезков C_{1}B_{1}
и CB
). Поэтому треугольники ACM
и A_{1}C_{1}M_{1}
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AM=A_{1}M_{1}
.
Для доказательства равенства биссектрис применим признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — № 20, с. 37