10111. Два одинаковых равносторонних треугольника расположены так, что в пересечении образуют шестиугольник. Докажите, что сумма длин трёх попарно несмежных сторон шестиугольника равна сумме длин трёх других его сторон.
Решение. Пусть T_{1}
, T_{2}
, …, T_{6}
— треугольники, дополняющие указанный шестиугольник до двух данных равносторонних треугольников. Эти шесть треугольников подобны по двум углам, поэтому достаточно доказать, что сумма высот треугольников T_{1}
, T_{3}
, T_{5}
, опущенных из их вершин соответственно A_{1}
, A_{3}
, A_{5}
на стороны шестиугольника, равны сумме соответствующих высот треугольников T_{2}
, T_{4}
, T_{6}
, опущенных из вершин A_{2}
, A_{3}
, A_{5}
.
Для этого заметим, что сумма площадей треугольников A_{1}A_{2}A_{3}
, A_{3}A_{4}A_{5}
, A_{5}A_{6}A_{1}
равна сумме площадей треугольников A_{2}A_{3}A_{4}
, A_{4}A_{5}A_{6}
, A_{6}A_{1}A_{2}
, так как каждая из этих сумм с прибавкой площади равностороннего треугольника даёт площадь шестиугольника A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}
. Основания шести названных треугольников равны, значит, равны суммы их высот:
A_{1}H_{1}+A_{3}H_{3}+A_{5}H_{5}=A_{2}H_{2}+A_{4}H_{4}+A_{6}H_{6}.
Отсюда следует утверждение задачи.