10114. Точки M
и N
расположены на сторонах соответственно BC
и AB
равностороннего треугольника ABC
, а отрезки AM
и CN
пересекаются в точке P
. Известно, что треугольник APC
равновелик четырёхугольнику BMPN
. Найдите угол APC
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. Треугольники AMC
и CNB
равновелики, а так как AC=BC
и \angle ACM=\angle CBN
, то они равны по двум сторонам и углу между ними (из равенства
\frac{1}{2}AC\cdot CM\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}BC\cdot BN\sin60^{\circ}
следует, что CM=BN
).
Обозначим \angle AMC=\angle CNB=\alpha
. Тогда
\angle CAM=\angle BCN=120^{\circ}-\alpha.
Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle APC=\angle AMC+\angle BCN=\alpha+(120^{\circ}-\alpha)=120^{\circ}.
Источник: Произволов В. В. Задачи на вырост. — М.: МИРОС, 1995. — № 3, с. 33