10118. В четырёхугольнике ABCD
сумма углов ABD
и BDC
равняется 180^{\circ}
, а стороны AD
и BC
равны. Докажите, что углы при вершинах A
и C
такого четырёхугольника равны.
Решение. Пусть C_{1}
— точка, симметричная вершине C
относительно серединного перпендикуляра к диагонали BD
. Тогда
\angle ABD+\angle DBC_{1}=\angle ABD+\angle BDC=180^{\circ}.
Значит, точки A
, B
и C_{1}
лежат на одной прямой, а так как AD=BC=DC_{1}
, то треугольник ADC_{1}
равнобедренный. Следовательно,
\angle BAD=\angle BC_{1}D=\angle BCD.
Источник: Произволов В. В. Задачи на вырост. — М.: МИРОС, 1995. — № 8, с. 35