10119. В ромбе угол A
равен 60^{\circ}
. Точки M
и N
лежат на сторонах CD
и AD
соответственно. Докажите, что если один из углов треугольника BMN
равен 60^{\circ}
, то и остальные его углы тоже равны по 60^{\circ}
.
Указание. Точки N
, B
, M
, D
лежат на одной окружности.
Решение. Первый способ. Пусть \angle BNM=60^{\circ}
. Тогда отрезок BM
виден из точек N
и D
, лежащих по одну сторону от прямой BM
, под углом 60^{\circ}
. Поэтому точки B
, M
, D
и N
лежат на одной окружности. Следовательно,
\angle BMN=\angle BDN=60^{\circ},~\angle MBN=180^{\circ}-2\cdot60^{\circ}=60^{\circ}.
Аналогично для случая, когда известно, что \angle BMN=60^{\circ}
.
Если же \angle NBM=60^{\circ}
, то противоположные углы NBM
и NDM
четырёхугольника NBMD
в сумме составляют 180^{\circ}
, поэтому точки B
, M
, D
и N
лежат на одной окружности. Следовательно,
\angle BNM=\angle BDM=60^{\circ},~\angle BMN=180^{\circ}-2\cdot60^{\circ}=60^{\circ}
Второй способ. Пусть \angle MBN=60^{\circ}
(рис. 1). Тогда треугольник ABN
равен треугольнику DBM
, так как AB=DB
, \angle BAN=\angle BDM=60^{\circ}
, а углы ABN
и DBM
равны как дополняющие до 60^{\circ}
угол NBD
. Значит, BN=BM
. Следовательно, треугольник BMN
равносторонний.
Пусть теперь, например, \angle BNM=60^{\circ}
(рис. 2). Отложим на стороне AB
отрезок AG=AN
. Тогда треугольник GBN
равен треугольнику DNM
, так как BG=DN
, \angle BGN=\angle NDM=120^{\circ}
, а равенство углов GBN
и MND
следует из равенств
\angle BND=\angle BAN+\angle GBN,~\angle BND=\angle BNM+\angle MND
и
\angle BAN=\angle BNM=60^{\circ}.
Значит, BN=NM
. Отсюда следует утверждение задачи.