1012. Точки A
, B
, C
, D
лежат на одной прямой, причём отрезки AB
и CD
имеют общую середину. Докажите, что, если треугольник ABE
равнобедренный с основанием AB
, то треугольник CDE
тоже равнобедренный с основанием CD
.
Указание. Примените признаки равенства треугольников.
Решение. Пусть M
— общая середина отрезков AB
и CD
, а точка C
лежит между точками A
и M
. Тогда AC=AM-CM
и DB=BM-DM
, а так как AM=BM
и CM=DM
, то AC=BD
.
Поскольку треугольник ABE
равнобедренный с основанием AB
, то AE=BE
и \angle CAE=\angle DBE
. Следовательно, треугольники ACE
и BDE
равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому CE=DE
, т. е. треугольник CDE
равнобедренный с основанием CD
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — № 21, с. 38