10122. Докажите, что площадь треугольника можно вычислить по формуле
S=Rr(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma),
где R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника, а \alpha
, \beta
и \gamma
— его углы.
Решение. Пусть a
, b
и c
— стороны треугольника, противолежащие углам соответственно \alpha
, \beta
и \gamma
, p
— полупериметр. По теореме синусов
a=2R\sin\alpha,~b=2R\sin\beta,~c=2R\sin\gamma.
Следовательно,
S=pr=\frac{1}{2}(a+b+c)r=\frac{1}{2}(2R\sin\alpha+2R\sin\beta+2R\sin\gamma)r=
=Rr(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma).
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 3.15, с. 33