10124. На гипотенузе AC
равнобедренного прямоугольного треугольника ABC
взяты такие точки M
и N
, что \angle MBN=45^{\circ}
, причём точка M
лежит между A
и N
. Докажите, что MN^{2}=AM^{2}+CN^{2}
.
Решение. Первый способ. Пусть P
— точка, симметричная точке A
относительно прямой BM
(рис. 1). Тогда
BP=BA=BC,~\angle PBN=45^{\circ}-\angle PBM=\frac{1}{2}(90^{\circ}-\angle ABP)=\frac{1}{2}\angle CBP.
Значит, BN
— биссектриса угла PBC
, а точка P
симметрична точке C
относительной прямой BN
. Таким образом,
\angle BPM=\angle BAM=45^{\circ},~\angle BPN=\angle BCN=45^{\circ}.
Следовательно,
\angle MPN=\angle BPM+\angle BPN=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ},
т. е. треугольник MPN
прямоугольный. Кроме того, из симметрии следует, что AM=PM
и CN=PN
. Тогда по теореме Пифагора
MN^{2}=PM^{2}+PN^{2}=AM^{2}+CN^{2}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Рассмотрим поворот с центром B
на угол 90{\circ}
против часовой стрелки (рис. 2). При этом повороте вершина C
перейдёт в A
, а точка N
— в некоторую точку N'
, значит, CN=AN'
и CN\perp AN'
. Кроме того,
\angle N'BM=\angle NBN'-\angle MBN=45^{\circ}=\angle MBN,
поэтому равны треугольники BMN
и BN'M
, откуда MN=MN'
. Следовательно, по теореме Пифагора
MN^{2}=MN'^{2}=AM^{2}+AN'^{2}=AM^{2}+CN^{2}.
Примечание. См. статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Угол в квадрате», Квант, 2014, N4, с.34-37.