10126. Дана окружность и точка K
внутри неё. Произвольная окружность, равная данной и проходящая через точку K
, имеет с данной окружностью общую хорду. Найдите геометрическое место середин этих хорд.
Ответ. Окружность с центром в середине OK
(O
— центр исходной окружности) и радиусом, равным половине радиуса данной окружности.
Решение. Пусть R
— радиус данной окружности, PQ
— указанная общая хорда, M
— её середина, а O_{1}
— центр выбранной произвольно окружности. четырёхугольник OPO_{1}Q
— ромб, поэтому точка M
будет также серединой отрезка OO_{1}
.
Первый способ. Пусть M_{1}
— середина отрезка OK
. Средняя линия MM_{1}
треугольника OKO_{1}
равна половине KO_{1}
, т. е. \frac{R}{2}
. Таким образом, все середины хорд лежат на окружности с центром в середине M_{1}
отрезка OK
и радиусом \frac{R}{2}
(рис. 1).
Докажем, что любая точка этой окружности является серединой некоторой хорды, о которой говорится в условии.
Пусть M_{1}
— центр окружности радиуса \frac{R}{2}
, M
— произвольная точка этой окружности. На продолжении отрезка OM
отложим отрезок MO_{1}=OM
. С центром в точке O_{1}
построим окружность \omega
радиуса R
.
Пусть P
и Q
— точки пересечения этой окружности с исходной. Тогда OPO_{1}Q
— ромб с центром M
. Его диагональ PQ
проходит через точку M
и делится ею пополам. При этом MM_{1}
— средняя линия треугольника OKO_{1}
, поэтому
O_{1}K=2MM_{1}=2\cdot\frac{R}{2}=R.
Значит, окружность \omega
проходит через точку K
. Отсюда следует доказываемое утверждение.
Второй способ. Центры окружностей, равных данной и проходящих через точку K
, лежат на окружности с центром в точке K
радиуса R
(рис. 2). Значит, искомое ГМТ есть образ окружности, образованной центрами, при гомотетии с центром в точке O
и коэффициентом \frac{1}{2}
.