10129. Точки X
и Z
— проекции точек соответственно P
и Q
, лежащих внутри угла с вершиной O
, на одну сторону угла, а точки Y
и T
— на другую. При этом PX:PY=QZ:QT
. Докажите, что точки P
, Q
и O
лежат на одной прямой.
Решение. Треугольники PXY
и QZT
подобны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle QZT=\angle PXY
. Точки X
и Y
лежат на окружности с диаметром OP
, а точки Z
и T
— на окружности с диаметром OQ
. Значит,
\angle QOX=\angle QOZ=\angle QTZ=\angle PYX=\angle POX.
Следовательно, точка Q
лежит на прямой OP
.