1013. Докажите признак равенства треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.
Указание. Примените признаки равенства треугольников.
Решение. Пусть биссектриса A_{1}D_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
равна биссектрисе AD
треугольника ABC
, A_{1}C_{1}=AC
и \angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle BAC
. Тогда треугольники A_{1}C_{1}D_{1}
и ACD
равны по двум сторонам (A_{1}C_{1}=AC
, A_{1}D_{1}=AD
) и углу между ними (\angle C_{1}A_{1}D_{1}=\angle CAD
как половины равных углов). Следовательно, \angle D_{1}C_{1}A_{1}=\angle DCA
и треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и ABC
равны по стороне (A_{1}C_{1}=AC
) и двум прилежащим к ней углам.
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — № 22, с. 38