10133. Имеются две параллельные прямые p_{1}
и p_{2}
. Точки A
и B
лежат на p_{1}
, а C
— на p_{2}
. Будем перемещать отрезок BC
параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники ABC
, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках:
а) точками пересечения высот;
б) точками пересечения медиан;
в) центрами описанных окружностей.
Ответ. Во всех случаях получится прямая с выколотой точкой, которая соответствует случаю, когда треугольник вырождается в отрезок.
Решение. а) Высота каждого такого треугольника лежит на прямой, перпендикулярной BC
и проходящей через точку A
(рис. 1). Если из этой прямой исключить точку её пересечения с отрезком AC
в случае, когда B
совпадает с A
, то получится искомое ГМТ.
б)
Первый способ. Ответом будет прямая, параллельная данным прямым и делящая отрезок с концами на этих прямых в отношении 1:2
, считая от p_{1}
(рис. 2). В самом деле, если отрезок BC
движется с постоянной скоростью, то и его середина движется с постоянной скоростью. Точка пересечения медиан делит отрезок, соединяющий вершину A
с серединой BC
, в постоянном отношении 2:1
и, следовательно, также будет двигаться с постоянной скоростью по указанной прямой.
Второй способ. Пусть M
— середина отрезка AB
. Тогда точка G
пересечения медиан треугольника ABC
лежит на отрезке CM
и делит его в отношении MG:MC=1:2
. Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что геометрическое место точек G
, делящих отрезок с концами на прямых p_{1}
и p_{2}
в отношении 1:2
, считая от p_{1}
, есть прямая, параллельная p_{1}
и p_{2}
. Если из этой прямой исключить точку её пересечения с отрезком AC
в случае, когда B
совпадает с A
, то получится искомое ГМТ.
в)
Первый способ. Серединные перпендикуляры к отрезкам AB
и BC
также движутся с постоянными скоростями. Значит, и точка их пересечения (центр описанной окружности) будет перемещаться по прямой (рис. 3).
Второй способ. Рассмотрим фиксированный отрезок AC_{0}
(в который вырождается треугольник при совпадении точек A
и B
) и симметричный ему относительно перпендикуляра, опущенного на p_{2}
из точки A
, отрезок AK
. Тогда ABCK
— равнобокая трапеция. Следовательно, точка K
лежит на описанной окружности каждого треугольника ABC
(рис. 4). Значит, точка O
лежит на серединном перпендикуляром к отрезку AK
.