10137. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Прямые BC
и AD
пересекаются в точке O
, причём точка B
лежит на отрезке OC
и A
— на отрезке OD
; I
— центр вписанной окружности треугольника OAB
, J
— центр вневписанной окружности треугольника OCD
, касающейся стороны CD
и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка IJ
на прямые BC
и AD
, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках X
и Y
. Докажите, что отрезок XY
делит периметр четырёхугольника ABCD
пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и концами на BC
и AD
отрезок XY
имеет наименьшую длину.
Решение. Пусть M
— середина отрезка IJ
, X
и Y
лежат на сторонах соответственно AD
и BC
данного четырёхугольника ABCD
, K
и E
— точки касания вписанной окружности треугольника OAB
с отрезками OA
и OB
соответственно, F
и L
— точки касания вневписанной окружности треугольника COD
с прямыми OC
и OD
соответственно.
Тогда X
и Y
— середины отрезков KL
и EF
, а
AK+BE=AB~\mbox{и}~CF+DL=CD.
Значит,
AB+AX+BY=(AK+BE)+(AX+BY)=
=(AK+AX)+(BE+BY)=KX+EY=
=LX+FY=(DL+DX)+(CF+CY)=
=(DL+CF)+DX+CY=CD+DX+CY,
т. е. прямая XY
делит периметр четырёхугольника ABCD
пополам.
Пусть точки X'
и Y'
на сторонах соответственно AD
и BC
таковы, что отрезок X'Y'
тоже делит периметр данного четырёхугольника ABCD
пополам. Тогда XX'=YY'
, значит, прямоугольные треугольники MXX'
и MYY'
равны по двум катетам, поэтому MX'=MY'
, и равнобедренные треугольники MXY
и MX'Y'
подобны по двум углам. Следовательно, X'Y'
минимально, когда минимально MX'
, т. е. когда X'
совпадает с X
. Аналогично, точка Y'
совпадает с Y
.
Примечание. Используя равенство отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, несложно показать, что отрезок X'Y'
с концами на сторонах AD
и BC
делит периметр пополам тогда и только тогда, когда OX'+OY'=l
, где l
— постоянная величина, равная удвоенному отрезку OK
касательной, сложенному с полупериметром четырёхугольника ABCD
.