10143. На основании AD
и боковой стороне AB
равнобедренной трапеции ABCD
взяты точки E
и F
соответственно так, что CDEF
— также равнобедренная трапеция. Докажите, что AE\cdot ED=AF\cdot FB
.
Решение. Первый способ. Обозначим \angle FEA=\alpha
. Из условия следует, что
\angle DCF=\angle CDA=\angle DAB=\angle FEA=\alpha.
Тогда
\angle BCF+\angle DCF=180^{\circ}-\angle CDA,~\mbox{или}~\angle BCF+\alpha=180^{\circ}-\alpha,
откуда
\angle BCF=180^{\circ}-2\alpha=\angle AFE.
Значит,
BF:ED=BF:FC=\sin\angle BCF:\sin\angle CFB=
=\sin2\alpha:\sin\alpha=\sin\angle AFE:\sin\angle FEA=AE:AF.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть прямые EF
и BC
пересекаются в точке K
. Тогда
\angle FKC=\angle AEK=\angle CDA=\angle CFD=\angle KFC,
поэтому равнобедренные треугольники CFK
и FAE
подобны, и
CF:AF=FK:AE=FB:AE.
Отсюда DE\cdot AE=CF\cdot AE=FB\cdot AF
.