10146. Три окружности проходят через точку P
, а вторые точки их пересечения A
, B
, C
лежат на одной прямой. A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— вторые точки пересечения прямых AP
, BP
, CP
с соответствующими окружностями; C_{2}
— точка пересечения прямых AB_{1}
и BA_{1}
; A_{2}
, B_{2}
определяются аналогично. Докажите, что треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
равны.
Решение. Поскольку четырёхугольники PAB_{1}C
и PBAC_{1}
вписанные,
\angle CAC_{2}=\angle CAB_{1}=\angle CPB_{1}=\angle BAC_{1}.
Аналогично \angle ABC_{2}=\angle ABC_{1}
, т. е. точки C_{1}
и C_{2}
симметричны относительно прямой AB
. Повторив это рассуждение для двух других пар точек, получим, что треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
симметричны относительно этой прямой и, следовательно, равны.