10153. Медианы AA'
и BB'
треугольника ABC
пересекаются в точке M
, причём \angle AMB=120^{\circ}
. Докажите, что углы AB'M
и BA'M
не могут быть оба острыми или оба тупыми.
Решение. Если AA'=BB'
, то
A'M=\frac{1}{3}AA'=\frac{1}{3}BB'=\frac{1}{2}BM.
Отсюда и из того, что \angle A'MB=60^{\circ}
, получаем, что \angle BA'M=90^{\circ}
(см. задачу 2643). Аналогично \angle AB'M=90^{\circ}
.
Пусть теперь AA'\gt BB'
, X
— проекция точки B
на прямую AA'
, Y
— проекция точки A
на прямую BB'
. Тогда
MX=\frac{1}{2}MB=MB'\lt MA',~MY=\frac{1}{2}MA=MA'\gt MB'
и, следовательно,
\angle BA'M\lt\angle BXM=90^{\circ}=\angle AYM\lt\angle AB'M.