1016. Признак равнобедренного треугольника. Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный, если у него:
а) медиана BD
является высотой;
б) высота BD
является биссектрисой.
Указание. Примените признаки равенства треугольников.
Решение. а) Треугольники ABD
и CBD
равны по двум сторонам (AD=DC
, BD
— общая) и углу между ними (\angle ADB=\angle CDB=90^{\circ}
). Поэтому AB=BC
.
б) Треугольники ABD
и CBD
равны по стороне (BD
— общая) и двум прилежащим к ней углам (\angle ABD=\angle DBC
, так как BD
— биссектриса, а \angle ADB=\angle CDB=90^{\circ}
, так как BD
— высота). Поэтому AB=BC
.