10160. Дан треугольник ABC
и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные AC
и BC
. Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями треугольника ABC
.
Решение. Отложим на продолжении стороны AB
за точку B
и на продолжении стороны AC
за точку C
отрезки BC_{1}=CB_{1}=BC
. Пусть A'
— точка пересечения прямых BB_{1}
и CC_{1}
. Тогда прямая AA'
проходит через искомую точку.
Действительно, так как треугольники BCB_{1}
и CBC_{1}
равнобедренные, прямые BB_{1}
и CC_{1}
параллельны биссектрисам углов C
и B
треугольника ABC
, а значит, параллельны биссектрисам углов треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC
(серединного треугольника). При гомотетии с центром A
и коэффициентом \frac{1}{2}
эти прямые перейдут в биссектрисы углов серединного треугольника, а точка A'
пересечения этих прямых — в точку пересечения биссектрис серединного треугольника.
Источник: Всероссийская олимпиада по геометрии. — 2008, 8-9 классы