10169. Прямая, проходящая через вершину A
квадрата ABCD
, пересекает сторону CD
в точке E
, а прямую BC
в точке F
. Докажите, что
\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}.
Решение. Обозначим \angle AFB=\angle DAE=\varphi
. Из прямоугольных треугольников DAE
и AFB
получаем, что
AE=\frac{AD}{\cos\varphi}=\frac{AB}{\cos\varphi},~AF=\frac{AB}{\sin\varphi}.
Следовательно,
\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}=\frac{\cos^{2}\varphi}{AB^{2}}+\frac{\sin^{2}\varphi}{AB^{2}}=\frac{\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi}{AB^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 1.19, с. 12
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.19, с. 13