1017. Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведённые к основанию, лежат на одной прямой.
Указание. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой.
Решение. Пусть AB
— общее основание равнобедренных треугольников ABC
и ABC_{1}
, CM
и C_{1}M
— медианы. Поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой, то CM
и C_{1}M
— перпендикуляры к AB
. Следовательно, точки C
, C_{1}
и M
лежат на одной прямой (поскольку через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной).