10174. Дан треугольник ABC
и построена вневписанная окружность с центром O
, касающаяся стороны BC
и продолжений сторон AB
и AC
. Точка O_{1}
симметрична точке O
относительно прямой BC
. Найдите величину угла A
, если известно, что точка O_{1}
лежит на описанной около треугольника ABC
окружности.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Вписанные углы BAC
и BO_{1}C
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle BOC=\angle BO_{1}C=\angle BAC=\alpha.
С другой стороны,
\angle BOC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770). Из уравнения
\alpha=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
находим, что \alpha=60^{\circ}
.
Автор: Шноль Д. Э.
Источник: Всероссийская олимпиада по геометрии. — 2009, 8-11 классы
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2009, V, заочный тур, № 5, 8-9 классы