10177. Три равных окружности S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
с центрами D
, E
и F
вписаны в углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
.
а) Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников DEF
.
б) Докажите, что если радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
равны R
и r
соответственно, а окружности S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
расположены внутри треугольника ABC
и проходят через одну точку, то радиус \rho
окружностей S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
удовлетворяет условию
\frac{1}{\rho}=\frac{1}{R}+\frac{1}{r}.
Решение. а) Пусть O
и I
— центры соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
. Поскольку окружности S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
равны, стороны треугольника DEF
соответственно параллельны сторонам треугольника ABC
. Значит, треугольник DEF
подобен треугольнику ABC
, а так как точки D
, E
и F
лежат на биссектрисах углов треугольника ABC
, то треугольник DEF
гомотетичен треугольнику ABC
центром гомотетии I
. Тогда центр O'
описанной окружности треугольника DEF
гомотетичен центру O
описанной окружности треугольника ABC
, и поэтому точки O
, O'
и I
лежат на одной прямой. Следовательно, искомое ГМТ — луч OI
.
б) Пусть Q
— общая точка окружностей окружностей S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
. Тогда QD=QE=QF
, поэтому радиус описанной окружности треугольника DEF
равен радиусу окружностей S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
, т. е. \rho
.
Пусть высота IH=r
треугольника AIB
пересекает сторону DE
треугольника DIE
в точке P
. Треугольник DIE
подобен треугольнику AIB
с коэффициентом \frac{R}{\rho}
. Следовательно,
\frac{\rho}{R}=\frac{DE}{AB}=\frac{IP}{IH}=\frac{r-\rho}{r}~\Rightarrow~Rr-R\rho=\rho r~\Rightarrow~\frac{1}{\rho}=\frac{1}{R}+\frac{1}{r}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Если окружности S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
расположены не внутри треугольника ABC
и проходят через одну точку, то аналогично можно получить, что
\frac{1}{\rho}=\frac{1}{r}-\frac{1}{R}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1989, № 4, задача 1329 (1988, с. 77), с. 126